[ Pobierz całość w formacie PDF ]
��Temat wykładu:
Równania ró\niczkowe
1
1
1
1
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Zagadnienia
1. Terminologia i oznaczenia
2. Definicje
3. Przykłady
2
2
2
2
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Definicja
Równanie ró\niczkowe równanie
zawierające pochodne nieznanej
funkcji zale\nej od jednej lub
wielu zmiennych.
3
3
3
3
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 1
f
x �����! y = f(x)
4
4
4
4
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 1
f
x �����! y = f(x)
2
2
f (x) = 2[f(x)]
5
5
5
5
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Zapis
f
x �����! y = f(x)
2
2
f (x) = 2[f(x)]
Inny zapis:
2
2
y = 2y
6
6
6
6
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 2
2 2
2
[x + y ]�" y = xy
Szukamy funkcji y = y (x ).
7
7
7
7
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 3
2
2 2 2
x �" y + x �" y + y = ex
Szukamy funkcji y = y (x ).
8
8
8
8
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 4
Szukamy funkcji u = u (x, y ).
u = u (x, y )
u = u (x, y )
u = u (x, y )
Pochodne cząstkowe:
2 2
ux uy
2 2 2 2
uxx + uyy = 0
9
9
9
9
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia
Równanie ró\niczkowe zwyczajne
szukana funkcja zale\y od jednej
zmiennej niezale\nej y = y (x ).
10
10
10
10
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady
Równania ró\niczkowe zwyczajne
Szukamy funkcji y = y (x ).
2
y = 2y2
(1)
2 2
2
[x + y ]�" y = xy
(2)
2
2 2 2
x �" y + x �" y + y = ex
(3)
11
11
11
11
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia cd.
Równanie ró\niczkowe cząstkowe
szukana funkcja zale\y od k
zmiennych niezale\nych, k > 1,
u = u (x1, x2, ...xk ).
W równaniach ró\niczkowych
cząstkowych występują pochodne
cząstkowe.
12
12
12
12
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład
Równanie ró\niczkowe cząstkowe
Szukamy funkcji u = u (x, y ).
2 2 2 2
uxx + uyy = 0
13
13
13
13
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia
Funkcja y = y (x ),
jest
x "(a, b)
rozwiązaniem równania
ró\niczkowego zwyczajnego, gdy
spełnia to\samościowo to
równanie dla .
x "(a, b)
14
14
14
14
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład
Wyka\, \e funkcja
y(x) = c �" ex - 2 - 2x - x2
gdzie: c stała rzeczywista,
jest rozwiązaniem równania
2
y = y + x2
15
15
15
15
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład cd.
10
c=1
c=2
8
c=-1
c=0
6
4
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
-4
-6
-8
-10
16
16
16
16
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia
Rodzinę funkcji
y(x) = c �" ex - 2 - 2x - x2
gdzie: c stała rzeczywista,
która jest rozwiązaniem równania
2
y = y + x2
nazywamy rozwiązaniem ogólnym
tego równania.
17
17
17
17
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia cd.
Tylko jeden wykres funkcji
nale\ących do tej rodziny
przechodzi przez punkt
(0, 1)
czyli spełnia warunek y(0)=1.
18
18
18
18
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia cd.
Warunek
y(0)=1
nazywamy warunkiem
początkowym, a funkcję y(x)
spełniającą ten warunek
rozwiązaniem szczególnym.
19
19
19
19
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład cd.
Znajdz rozwiązanie szczególne
spełniające warunek początkowy
y(0)=1
20
20
20
20
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład cd.
10
c=1
c=2
c=-1
8
c=0
y(0)=1
6
4
2
-6 -4 -2 0 2 4 6
-2
-4
-6
-8
-10
21
21
21
21
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Oznaczenia
funkcja y = y ( x )
pochodna y' ( x )
pochodna inaczej:
dy
2
y (x) =
dx
(czyt.: dy po dx)
22
22
22
22
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
R-nie o zmiennych rozdzielonych
f(x)dx + g(y)dy = 0
Przykłady
23
23
23
23
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład
a) Wyznacz rozwiązanie ogólne
równania ró\niczkowego
y�y = 0,5
b) Wyznacz rozwiązanie
szczególne spełniające warunek
y(0)=2
24
24
24
24
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Odpowiedzi
a)
y = � x + c
c stała rzeczywista
b)
y = x + 4
25
25
25
25
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW [ Pobierz całość w formacie PDF ]
